贝塞尔曲线扫盲

2018-02-02 15:19:29

相信很多同学都知道“贝塞尔曲线”这个词，我们在很多地方都能经常看到。但是，可能并不是每位同学都清楚地知道，到底什么是“贝塞尔曲线”，又是什么特点让它有这么高的知名度。

贝塞尔曲线的数学基础是早在 1912 年就广为人知的伯恩斯坦多项式。但直到 1959 年，当时就职于雪铁龙的法国数学家 Paul de Casteljau 才开始对它进行图形化应用的尝试，并提出了一种数值稳定的 de Casteljau 算法。然而贝塞尔曲线的得名，却是由于 1962 年另一位就职于雷诺的法国工程师 Pierre Bézier 的广泛宣传。他使用这种只需要很少的控制点就能够生成复杂平滑曲线的方法，来辅助汽车车体的工业设计。

正是因为控制简便却具有极强的描述能力，贝塞尔曲线在工业设计领域迅速得到了广泛的应用。不仅如此，在计算机图形学领域，尤其是矢量图形学，贝塞尔曲线也占有重要的地位。今天我们最常见的一些矢量绘图软件，如 Flash、Illustrator、CorelDraw 等，无一例外都提供了绘制贝塞尔曲线的功能。甚至像 Photoshop 这样的位图编辑软件，也把贝塞尔曲线作为仅有的矢量绘制工具（钢笔工具）包含其中。

贝塞尔曲线在 web 开发领域同样占有一席之地。CSS3 新增了 transition-timing-function 属性，它的取值就可以设置为一个三次贝塞尔曲线方程。在此之前，也有不少 JavaScript 动画库使用贝塞尔曲线来实现美观逼真的缓动效果。

下面我们就通过例子来了解一下如何用 de Casteljau 算法绘制一条贝塞尔曲线。

在平面内任选 3 个不共线的点，依次用线段连接。enter image description here

在第一条线段上任选一个点 D。计算该点到线段起点的距离 AD，与该线段总长 AB 的比例。enter image description here

根据上一步得到的比例，从第二条线段上找出对应的点 E，使得 AD:AB = BE:BC。enter image description here

连接这两点 DE。enter image description here

从新的线段 DE 上再次找出相同比例的点 F，使得 DF:DE = AD:AB = BE:BC。enter image description here

到这里，我们就确定了贝塞尔曲线上的一个点 F。接下来，请稍微回想一下中学所学的极限知识，让选取的点 D 在第一条线段上从起点 A 移动到终点 B，找出所有的贝塞尔曲线上的点 F。所有的点找出来之后，我们也得到了这条贝塞尔曲线。enter image description here

如果你实在想象不出这个过程，没关系，看动画！enter image description here

回过头来看这条贝塞尔曲线，为了确定曲线上的一个点，需要进行两轮取点的操作，因此我们称得到的贝塞尔曲线为二次曲线（这样记忆很直观，但曲线的次数其实是由前面提到的伯恩斯坦多项式决定的）。

当控制点个数为 4 时，情况是怎样的？enter image description here

步骤都是相同的，只不过我们每确定一个贝塞尔曲线上的点，要进行三轮取点操作。如图，AE:AB = BF:BC = CG:CD = EH:EF = FI:FG = HJ:HI，其中点 J 就是最终得到的贝塞尔曲线上的一个点。enter image description here

这样我们得到的是一条三次贝塞尔曲线。enter image description here

看过了二次和三次曲线，更高次的贝塞尔曲线大家应该也知道要怎么画了吧。那么比二次曲线更简单的一次（线性）贝塞尔曲线存在吗？长什么样？根据前面的介绍，只要稍作思考，想必你也能猜出来了。哈！就是一条直线~enter image description here

能画曲线也能画直线，是不是很厉害？要绘制更复杂的曲线，控制点的增加也仅仅是线性的。这一特点使其不光在工业设计领域大展拳脚，就连数学基础不好的人也可以比较容易地掌握，比如大多数平面美术设计师们。enter image description here

上面介绍的内容并不足以展示贝塞尔曲线的真正威力。推广到三维空间的贝塞尔曲面，以及更进一步的非均匀有理 B 样条（NURBS），早已成为当今计算机辅助设计（CAD）的行业标准，不论是我们平常用到的各种产品，还是在电影院看到的精彩大片，都少不了它们的功劳。enter image description here

enter image description here

动态绘制贝塞尔曲线的在线演示


  • 精彩推荐

  • 2018-02-01 22:09:18

    给linux添加回收站

    linux下常常使用rm，导致误操作删除一些重要的文档，很难恢复（当然也能恢复，不过比较复杂），所以在这种情况下，我们如果能给linux添加一个回收站就好多了，说白了，这个回收站机制也比较简单，就是使用 mv封装一个rm，简单的可以自己写个脚本，复杂点的就是在bin下添加这个封装命令就行了。

  • 2018-02-02 10:52:50

    IntelliJ IDEA 快捷键说明大全（中英对照、带图示详解）

    因为觉得网络上的 idea 快捷键不够详尽，所以特别编写了此篇文章，方便大家使用 idea O(∩_∩)O~ 其中的英文说明来自于 idea 的官网资料，中文说明主要来自于自己的领会和理解，英文说明只是作为参考。重要的快捷键会附带图示，进行详细的说明。

  • 2018-02-02 15:19:29

    贝塞尔曲线扫盲

    相信很多同学都知道“贝塞尔曲线”这个词，我们在很多地方都能经常看到。但是，可能并不是每位同学都清楚地知道，到底什么是“贝塞尔曲线”，又是什么特点让它有这么高的知名度。

  • 2018-02-04 23:46:16

    Android SQLite 升级数据库，在原有数据库的基础上添加一列

    原本以为很简单的问题，直接在原来创建数据库的语句中加上需要添加的列new_column，但是运行时发现，应用crash。原因是，原有数据库文件已经存在的情况下并不会重新创建数据库，也就是说此时数据库中并没有new_column列，这个时候，运行query()来查询数据库如果包括new_column列，就会导致应用crash。

  • 2018-02-06 22:23:01

    HTML5 Canvas 的事件处理

    DOM是Web前端领域非常重要的组成部分，不仅在处理HTML元素时会用到DOM，图形编程也同样会用到。比如SVG绘图，各种图形都是以DOM节点的形式插入到页面中，这就意味着可以使用DOM方法对图形进行操作。比如有一个<path id=”p1″>元素，可以直接用jquery增加click事件$(‘#p1’).click(function(){…})”。然而这种DOM处理方法在HTML5的Canvas里不再适用，Canvas使用的是另外一套机制，无论在Canvas上绘制多少图形，Canvas都是一个整体，图形本身实际都是Canvas的一部分，不可单独获取，所以也就无法直接给某个图形增加JavaScript事件。