贝塞尔曲线扫盲

2018-02-02 15:19:29

相信很多同学都知道“贝塞尔曲线”这个词，我们在很多地方都能经常看到。但是，可能并不是每位同学都清楚地知道，到底什么是“贝塞尔曲线”，又是什么特点让它有这么高的知名度。

贝塞尔曲线的数学基础是早在 1912 年就广为人知的伯恩斯坦多项式。但直到 1959 年，当时就职于雪铁龙的法国数学家 Paul de Casteljau 才开始对它进行图形化应用的尝试，并提出了一种数值稳定的 de Casteljau 算法。然而贝塞尔曲线的得名，却是由于 1962 年另一位就职于雷诺的法国工程师 Pierre Bézier 的广泛宣传。他使用这种只需要很少的控制点就能够生成复杂平滑曲线的方法，来辅助汽车车体的工业设计。

正是因为控制简便却具有极强的描述能力，贝塞尔曲线在工业设计领域迅速得到了广泛的应用。不仅如此，在计算机图形学领域，尤其是矢量图形学，贝塞尔曲线也占有重要的地位。今天我们最常见的一些矢量绘图软件，如 Flash、Illustrator、CorelDraw 等，无一例外都提供了绘制贝塞尔曲线的功能。甚至像 Photoshop 这样的位图编辑软件，也把贝塞尔曲线作为仅有的矢量绘制工具（钢笔工具）包含其中。

贝塞尔曲线在 web 开发领域同样占有一席之地。CSS3 新增了 transition-timing-function 属性，它的取值就可以设置为一个三次贝塞尔曲线方程。在此之前，也有不少 JavaScript 动画库使用贝塞尔曲线来实现美观逼真的缓动效果。

下面我们就通过例子来了解一下如何用 de Casteljau 算法绘制一条贝塞尔曲线。

在平面内任选 3 个不共线的点，依次用线段连接。enter image description here

在第一条线段上任选一个点 D。计算该点到线段起点的距离 AD，与该线段总长 AB 的比例。enter image description here

根据上一步得到的比例，从第二条线段上找出对应的点 E，使得 AD:AB = BE:BC。enter image description here

连接这两点 DE。enter image description here

从新的线段 DE 上再次找出相同比例的点 F，使得 DF:DE = AD:AB = BE:BC。enter image description here

到这里，我们就确定了贝塞尔曲线上的一个点 F。接下来，请稍微回想一下中学所学的极限知识，让选取的点 D 在第一条线段上从起点 A 移动到终点 B，找出所有的贝塞尔曲线上的点 F。所有的点找出来之后，我们也得到了这条贝塞尔曲线。enter image description here

如果你实在想象不出这个过程，没关系，看动画！enter image description here

回过头来看这条贝塞尔曲线，为了确定曲线上的一个点，需要进行两轮取点的操作，因此我们称得到的贝塞尔曲线为二次曲线（这样记忆很直观，但曲线的次数其实是由前面提到的伯恩斯坦多项式决定的）。

当控制点个数为 4 时，情况是怎样的？enter image description here

步骤都是相同的，只不过我们每确定一个贝塞尔曲线上的点，要进行三轮取点操作。如图，AE:AB = BF:BC = CG:CD = EH:EF = FI:FG = HJ:HI，其中点 J 就是最终得到的贝塞尔曲线上的一个点。enter image description here

这样我们得到的是一条三次贝塞尔曲线。enter image description here

看过了二次和三次曲线，更高次的贝塞尔曲线大家应该也知道要怎么画了吧。那么比二次曲线更简单的一次（线性）贝塞尔曲线存在吗？长什么样？根据前面的介绍，只要稍作思考，想必你也能猜出来了。哈！就是一条直线~enter image description here

能画曲线也能画直线，是不是很厉害？要绘制更复杂的曲线，控制点的增加也仅仅是线性的。这一特点使其不光在工业设计领域大展拳脚，就连数学基础不好的人也可以比较容易地掌握，比如大多数平面美术设计师们。enter image description here

上面介绍的内容并不足以展示贝塞尔曲线的真正威力。推广到三维空间的贝塞尔曲面，以及更进一步的非均匀有理 B 样条（NURBS），早已成为当今计算机辅助设计（CAD）的行业标准，不论是我们平常用到的各种产品，还是在电影院看到的精彩大片，都少不了它们的功劳。enter image description here

enter image description here

动态绘制贝塞尔曲线的在线演示


  • 精彩推荐

  • 2020-04-17 11:27:48

    TweenMax中文初级教程一

    TweenMax.js集成了GreenSock动画平台的大部分核心功能,且具有极高的兼容性。

  • 2020-04-17 11:28:35

    TweenMax中文初级教程二

    TimelineMax是GreenSock 动画平台中的动画组织、排序、管理工具，可创建时间轴（timeline）作为动画或其他时间轴的容器，这使得整个动画控制和精确管理时间变得简单，避免了通过反复delay和回调进行动画。 作者：李霖弢 链接：https://www.jianshu.com/p/8c0361e43bf5 来源：简书 著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

  • 2020-04-17 11:28:57

    TweenMax中文初级教程三

    动画关键词：CSS（一般可以省略） CSSPlugin用于在TweenMax中对DOM元素的CSS相关属性进行动画 在CSSPlugin中CSS属性需要写成驼峰式，例如font-size应当写作fontSize。有时候你可以在一些默认px为单位的属性中省略单位，CSSPlugin还可以在不同的单位间做动画：

  • 2020-04-17 11:29:23

    TweenMax中文初级教程四

    用于滚动窗口（类似于window.scrollTo(x, y)）或DOM元素（如myDiv.scrollTop = y; myDiv.scrollLeft = x;）。滚动窗口时使用window作为动画目标。

  • 2020-04-17 14:06:29

    图片解释EaseIn，EaseOut，EaseInOut

    1.EaseIn：即缓动发生在入口处，也就是刚开始的时候。 2.EaseOut：即缓动发生在出口处，也就是结束之前。 3.EaseInOut：就是两边都有缓动了.

  • 2020-04-21 14:47:13

    Redis危险命令重命名、禁用

    flushdb,清空数据库 flushall,清空所有记录，数据库 config,客户端连接后可配置服务器 keys,客户端连接后可查看所有存在的键

  • 2020-04-21 15:13:15

    redis 简单使用

    Redis和Memcached类似，也属于k-v数据存储 Redis官网 https://redis.io支持更多value类型，除了和string外，还支持hash、lists（链表）、sets（集合）和sorted sets（有序集合） Redis是可以把数据存储在磁盘上的并且使用了两种文件格式：全量数据(RDB)和增量请求(aof)。一般叫做redis持久化 全量数据格式是把内存中的数据写入磁盘，便于下次读取文件进行加载。

  • 2020-04-21 15:14:20

    SpringBoot + Redis：基本配置及使用

    # Redis数据库索引（默认为0） spring.redis.database=0# Redis服务器地址 spring.redis.host=127.0.0.1# Redis服务器连接端口 spring.redis.port=6379# Redis服务器连接密码（默认为空） spring.redis.password=# 连接池最大连接数（使用负值表示没有限制） spring.redis.jedis.pool.max-active=20# 连接池最大阻塞等待时间（使用负值表示没有限制） spring.redis.jedis.pool.max-wait=-1# 连接池中的最大空闲连接 spring.redis.jedis.pool.max-idle=10# 连接池中的最小空闲连接 spring.redis.jedis.pool.min-idle=0# 连接超时时间（毫秒） spring.redis.timeout=1000